2ª Fase - Matemática

Dado $P(x) = \operatorname{cossec}^2(\alpha) \cdot x^2 - \operatorname{cotg}(\alpha) \cdot x + \cos(\alpha)$.

Para que valores de $\alpha$, no intervalo $(0, \pi)$, as raízes de $P(x)$ são reais?

A equação $x^3 - \alpha x + \beta = 0$, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes reais, admite raiz não real de módulo $\gamma$.

Determine $\alpha$ em função de $\beta$ e $\gamma$.

Há três casas numeradas pelos números naturais $k$, $m$ e $n$, onde $0 < k < m < n$. Três pessoas $A$, $B$ e $C$ as alugam por temporada com ocupação por sorteio. A cada sorteio cada pessoa recebe um valor em reais correspondente ao número da casa a si alocada. Depois do último sorteio $A$, $B$ e $C$ têm, acumulado, respectivamente, $10$, $9$ e $14$ reais. Sabe-se que foram realizados pelo menos $2$ sorteios e que no último deles $B$ recebeu $n$ reais.

Quais são os números das casas?

Determine as raízes complexas da equação abaixo, onde $i^2 = -1$.

$$\frac{x^2 + \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}{x+1} \cdot \frac{x^2 + \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}}{x-1} = \frac{16}{(x^2-1)^2}$$

Prove que o volume de um prisma triangular é igual ao semiproduto da área de uma face lateral pela distância desta face à sua aresta oposta.

Sejam as matrizes $A$ e $B$ abaixo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & \operatorname{sen}\left(\dfrac{4x+\pi}{8}\right) & 3 \\ \operatorname{sen}\left(\dfrac{4x+\pi}{8}\right) & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{bmatrix} \, ; \quad B = \begin{bmatrix} -1/2 & 3 & -2 \\ 2 & -1/2 & \operatorname{sen}\left(\dfrac{4x-\pi}{8}\right) \\ 1/2 & \operatorname{sen}\left(\dfrac{4x-\pi}{8}\right) & -1/2 \end{bmatrix}$$

Determine os valores de $x$ pertencentes ao intervalo $[0, 2\pi]$ tais que $\det(2AB + A - 2B - I) = 0$.

Considere o polinômio $P(x) = \left(\dfrac{x^{2025}-1}{x-1}\right)^{2025}$.

Determine o coeficiente de $x^3$ em $P(x)$.

Seja $\alpha$ uma semicircunferência de diâmetro $AB$ contida no primeiro quadrante, sendo $A = (0, 0)$ e $B = (x_B, 0)$. A reta $t$ tangencia $\alpha$ no ponto $T = (x_T, y_T)$ e intercepta o eixo $x$ no ponto $C = (x_C, 0)$, $x_C > x_B$. Com o centro em $T$, traça-se uma circunferência de raio $TH$, $H = (x_T, 0)$. Essa circunferência corta a reta $t$ nos pontos $D = (x_D, y_D)$ e $E = (x_E, y_E)$. Sabe-se que $x_D < x_B < x_E$, $BC = 5$ e $HB = 4$.

Determine as coordenadas de $D$.

Sejam $3$ pontos colineares $A$, $B$ e $C$ tais que $AB \neq BC$. Cada par de circunferências de mesmo raio, uma passando por $A$ e $B$ e outra por $B$ e $C$, se interceptam em $B$ e $M$.

Determine o lugar geométrico do ponto $M$.

Considere o seguinte subconjunto $A$ do conjunto dos números complexos $\mathbb{C}$:

$$A = \left\{ z \in \mathbb{C} \,\middle|\, \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{z-1}{z+1}\right|^n \leq k-1 \right\},$$

onde $k>1$ é um número real dado.

Determine o valor máximo de $|z|$ para $z \in A$.