2ª Fase - Física

A figura mostra o aspecto da curva da energia potencial de uma partícula em movimento unidimensional, cuja equação é dada por

$$E_p(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3} \quad ,$$

sendo a força associada aplicada à partícula dada por

$$F(x) = -4x + x^2 \quad .$$

Observação:

• todos os valores são dados em unidades SI.

Dado o exposto:

1. determine o intervalo de posições possíveis para a partícula para que seu movimento seja oscilatório;
2. determine o supremo $E_\mathrm{sup}$ da energia mecânica abaixo do qual a partícula possa conservar-se em movimento oscilatório;
3. esboce o gráfico da velocidade em função do tempo se, num instante inicial, em $x = 0$, o sentido da velocidade da partícula é da direita para a esquerda e sua energia mecânica $E$ é tal que $E > E_\mathrm{sup}$.

Um sistema planetário muito distante é composto por dois planetas A e B que executam ambos órbitas circulares em torno da estrela S. Um cometa C estava em rota de colisão frontal com A. Depois da colisão, foi possível observar que o choque foi perfeitamente inelástico e quando os corpos se moviam em sentido contrário, gerando assim o novo planeta, chamado CA, agora com órbita elíptica em torno de S.

Dados:

• tempo de órbita completa de A em torno de S (antes da colisão): 160 dias de A;
• 1 dia de A (antes da colisão): 4 dias terrestres;
• tempo de órbita completa de B em torno de S: 90 dias de B;
• 1 dia de B: 3 dias terrestres;
• para um corpo fixo na superfície de CA, imediatamente após o choque, a força de gravidade provocada por S é $0,081\%$ da força de gravidade provocada por CA;
• para um corpo fixo na superfície de B, a força de gravidade provocada por S é $2,048\%$ da força de gravidade provocada por B;
• dimensões de CA (depois da colisão) = dimensões de A (antes da colisão) = dimensões de B;
• a energia mecânica (cinética mais potencial gravitacional) de CA (após a colisão) é 7 vezes a energia mecânica de B, sendo ambas negativas.

Observações:

• despreze o efeito gravitacional da aproximação do cometa C nas trajetórias dos planetas A e B;
• despreze a interação gravitacional entre os planetas A e B;
• o potencial gravitacional no infinito é nulo;
• os raios de A e B são muito menores que os raios de suas órbitas.

Considerando o cenário descrito, determine:

1. a razão entre os raios das órbitas de A e B;
2. a razão entre as velocidades das órbitas de A e B;
3. a razão entre as massas de B e CA;
4. a razão entre a velocidade de órbita de B e a velocidade de CA imediatamente após o choque;
5. se, imediatamente após o choque, CA estará em apoastro (ponto da órbita mais afastado de S) ou em periastro (ponto da órbita mais próximo de S), justificando a sua resposta.

Uma pequena esfera é presa ao ponto $A$ indicado na figura por um fio de comprimento $\ell$. Abaixo e na mesma vertical de $A$, a uma distância $d$, há o ponto $B$, de forma que uma barra delgada imóvel é fixada entre $A$ e $B$.

Em um determinado momento, a esfera é posicionada à direita de $A$, de maneira que o fio esteja esticado na horizontal. Na sequência, a esfera é solta, passando a movimentar-se em uma trajetória que descreve um quarto de circunferência em torno de $A$ e, ao passar por baixo do ponto $B$, parte do fio encosta e gruda na barra e a esfera continua seu movimento.

Dado:

• aceleração da gravidade: $g$.

Observação:

• o fio é inextensível e de massa desprezível.

Determine, em função de $\ell$ e de acordo com o contexto apresentado:

1. o valor mínimo de $d$ para que a trajetória descrita pela esfera após passar por baixo de B seja uma semicircunferência;
2. o raio de curvatura instantâneo, caso $d = 3/7\,\ell$, da trajetória da esfera em seu ponto mais alto após ter passado por baixo do ponto B.

Considere o circuito da figura composto por três fontes iguais, três resistências de valor $R_1$, três chaves e uma malha infinita de resistências de valor $R_2$. Sabe-se que a chave $S_0$ é fechada em $t = 0$, a chave $S_1$ é fechada em $t = \pu{20 s}$, a chave $S_2$ é fechada em $t = \pu{40 s}$ e que nenhuma das chaves muda seu estado após o fechamento.

Dados:

• $V = \pu{40 V}$;
• $R_1 = 6\,\Omega$;
• $R_2 = (\sqrt{5} - 1)\,\Omega$.

Dado o exposto, calcule o valor da energia total dissipada na malha infinita de resistências entre os instantes $t = 0$ e $t = \pu{60 s}$.

Uma viga homogênea de comprimento total $L$ e massa $M$ está apoiada horizontalmente em três apoios verticais simples indicados na figura por C, D e E. No trecho DE, repousa um bloco de massa $m$. No ponto G, localizado também no trecho DE, é instalada uma articulação que interrompe a continuidade estrutural da viga.

Dados:

• comprimento da viga: $L = \pu{10 m}$;
• massa da viga: $M = \pu{6 kg}$;
• distâncias entre os apoios: $CD = \pu{6 m}$ e $DE = \pu{4 m}$;
• distância entre a articulação e o apoio E: $GE = \pu{2 m}$;
• distância entre o bloco de massa $m$ e o apoio E: $\pu{1 m}$;
• aceleração da gravidade: $g = \pu{10 m/s^{2}}$.

Observações:

• a viga é considerada indeformável em todas as suas partes;
• após a instalação da articulação, a seção da viga entre os pontos G e E passa a ser apoiada em dois pontos: o dente da articulação em G e o apoio E.

Mediante o contexto, determine:

1. as reações de apoio em C, D, E e G para $m = \pu{4 kg}$;
2. o maior valor de $m$ de forma que a articulação consiga manter a viga em equilíbrio.

A Figura 1 mostra o esquemático de um dispositivo contendo uma fonte de tensão cujos terminais são conectados às extremidades de um trilho, sobre o qual se encontra apoiada uma barra, que é submetida a uma força horizontal variável $F(t)$. A região do trilho está sujeita a uma densidade de fluxo magnético $B$, com direção e sentido também indicados nessa figura. A característica terminal da fonte é mostrada na Figura 2 e a velocidade de deslocamento da barra sobre os trilhos é mostrada na Figura 3.

Dados:

• massa da barra: $\pu{5 kg}$;
• comprimento da barra: $\pu{1 m}$;
• módulo de $B = \pu{2,5 T}$;
• resistência da barra: $2\,\Omega$.

Observações:

• não há atrito no deslocamento da barra sobre os trilhos;
• as resistências elétricas dos trilhos e das conexões são desprezíveis;
• a força $F(t)$ é tal que estabeleça as condições apresentadas nos gráficos;
• todas as grandezas indicadas nos gráficos estão em unidades do sistema internacional.

Diante do exposto, determine:

1. o menor módulo de corrente no intervalo $0 \le t \le \pu{6 s}$;
2. a energia total dissipada pela resistência interna da fonte no intervalo $\pu{2 s} \le t \le \pu{4 s}$;
3. o módulo e o sentido de $F(t)$ em $t = \pu{5 s}$.

A Figura 1 mostra uma casca metálica condutora de espessura $a$ com uma partícula de carga $+Q$ fixada no centro de uma cavidade esférica no vácuo de raio $a$. Já a Figura 2 mostra uma casca de mesma espessura $a$, com uma cavidade esférica de raio $2a$ e também com uma partícula de mesma carga $+Q$ fixada em seu centro.

Dado:

• constante eletrostática do meio: $k$.

Observações:

• as hastes que fixam as cargas são constituídas por material isolante;
• as cascas estão muito distantes uma da outra;
• inicialmente, cada casca esférica possui carga total nula;
• o potencial elétrico no infinito é nulo.

Considerando a geometria das figuras:

1. calcule o potencial elétrico em $r = a$ no circuito da Figura 1;
2. esboce o gráfico de “potencial elétrico versus $r$” para o circuito da Figura 2, destacando os valores de potencial em $r = a$, $r = 2a$ e $r = 3a$;
3. após curto-circuitar as cascas com um fio metálico muito longo (situação da Figura 3) e depois de algum tempo retirar o fio, determine as cargas resultantes, após o equilíbrio eletrostático, nas superfícies internas e externas de cada uma das duas cascas.

Um citricultor contrata os serviços de um engenheiro para especificar uma câmara frigorífica cujo objetivo é congelar certo suco de fruta para exportação. Uma tonelada de produto entra no equipamento na fase líquida e lá deve permanecer até atingir a temperatura de $\pu{-27 ^\circ C}$. Mais especificamente, o citricultor está interessado em uma estimativa inicial da potência de acionamento do compressor tendo em vista os custos crescentes da tarifa elétrica. O engenheiro afirma que um dispositivo com $\pu{30 HP}$ de potência deve atender, com folga, ao requisito.

Dados:

• calor específico do suco na fase líquida: $\pu{1,0 kcal/(kg.^\circ C)}$;
• calor específico do suco na fase sólida: $\pu{0,5 kcal/(kg.^\circ C)}$;
• calor latente de solidificação do suco: $\pu{72,5 kcal/kg}$;
• temperatura inicial do suco: $\pu{33 ^\circ C}$;
• ponto de congelamento do suco: $\pu{-2 ^\circ C}$;
• temperatura no interior da câmara frigorífica: $\pu{-27 ^\circ C}$;
• temperatura do ambiente onde se situa a câmara frigorífica: $\pu{34,5 ^\circ C}$;
• coeficiente de desempenho do equipamento: $3/4$ do referente ao Ciclo de Carnot;
• duração estimada do processo de congelamento: $96$ minutos;
• $\pu{1 cal} = \pu{4 J}$;
• $\pu{1 HP} = 3/4\ \text{kW}$.

Empregando os dados listados acima:

1. realize uma análise termodinâmica do problema em questão e avalie a potência do compressor, em HP;
2. compare seu resultado com o valor mencionado pelo engenheiro e discuta se a estimativa é procedente.

Considere o sistema da figura com duas fontes de luz monocromática pontuais, $F_1$ e $F_2$, que estão em fase. A distância entre as fontes é denotada por $a$. A intensidade da fonte $F_1$ num ponto $P$ genérico do anteparo, dada por $I_1(\theta)$, é $1/3$ da intensidade da fonte $F_2$ no mesmo ponto $P$.

Observação:

• a intensidade luminosa é proporcional ao quadrado da amplitude da onda.

Dados:

• comprimento de onda da luz emitida pelas fontes: $\lambda$;
• $L \gg a$.

Determine a intensidade luminosa:

1. resultante em um ponto $P$ localizado no anteparo, em função de $I_1(\theta)$, $\theta$, $\lambda$ e $a$;
2. no primeiro máximo local de intensidade, para $\theta > 0$, em função de $I_1(\theta)$;
3. no primeiro mínimo local de intensidade, para $\theta > 0$, em função de $I_1(\theta)$.

Sejam dois cilindros coaxiais de raios $R$ e $r$, com $R > r$. O cilindro de raio $R$ tem sua superfície interna espelhada, enquanto a superfície externa do cilindro de raio $r$ também é espelhada.

Um feixe estreito de luz se propaga entre os espelhos em um plano perpendicular ao eixo dos cilindros. O feixe luminoso parte do ponto A, é refletido no ponto B e, a partir daí, continua sua trajetória entre os espelhos.

Considerando que o sistema esteja ajustado à razão $r/R = \sqrt{3}/2$ para que haja $n$ pontos de reflexão em cada espelho, onde $n \in \mathbb{N}$, e que os raios se sobrepõem após uma volta, calcule:

1. a expressão de $\tan\theta$ em função de $n$;
2. os valores possíveis de $n$.