IME 2026/2027

1ª Fase

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Prova e soluções comentadas

Brasão IME

Q1

Sejam nn e mm números naturais. Sabe-se que nn vale 56215621 na base numérica mm e 12081208 na base numérica m+5m + 5. O valor de nn é:

  1. 2020
  2. 2022
  3. 2024
  4. 2026
  5. 2028

Q2

Considere os conjuntos X={x1,x2,x3,x4,x5}X = \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\} e Y={1,2,3,4,5,6,7,8}Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}. Quantas funções injetivas f:X→Yf : X \to Y existem, tais que, para dois elementos previamente fixados xix_i e xj∈Xx_j \in X, ∣f(xi)−f(xj)∣≠1|f(x_i) - f(x_j)| \neq 1 ?

  1. 48004800
  2. 50405040
  3. 58805880
  4. 64806480
  5. 67206720

Q3

O polinômio P(x)P(x), de grau 3 e coeficientes reais, satisfaz a identidade P(x)−P(x−1)=x2P(x) - P(x - 1) = x^2 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, e, além disso, P(0)=5P(0) = 5. O valor de P(10)P(10) é:

  1. 380380
  2. 385385
  3. 390390
  4. 395395
  5. 400400

Q4

Sejam m∈Zm \in \mathbb{Z} e

∣xmxm+2xm+4ymym+2ym+4zmzm+2zm+4∣=(1y2−1x2)(1z2−1y2)(1x2−1z2), \begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4} \\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4} \\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}\right)\left(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{z^2}\right),

para quaisquer xx, yy e z∈R∗z \in \mathbb{R}^*. O valor de mm é:

  1. −6-6
  2. −4-4
  3. −2-2
  4. 22
  5. 44

Q5

Sabe-se que i2=−1i^2 = -1. Seja z=1−2i4−3iz = \dfrac{1 - 2i}{4 - 3i} e, para cada número natural nn, Sn=∑k=1n(z‾)kS_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\overline{z})^k, em que z‾\overline{z} representa o conjugado de zz. O menor valor de nn para o qual vale a desigualdade

∣Sn−z‾−∣z∣2∣1−z∣2∣<12027 \left|S_n - \frac{\overline{z} - |z|^2}{|1 - z|^2}\right| < \frac{1}{2027}

é:

  1. 55
  2. 88
  3. 99
  4. 1010
  5. 1111

Q6

Sabe-se que i2=−1i^2 = -1. Seja SS a região do Plano de Argand-Gauss definida por

S={z∈C∣∣z+1−i∣+∣z−3−4i∣≤7}.S = \{z \in \mathbb{C} \mid |z + 1 - i| + |z - 3 - 4i| \le 7\}.

Qual a área do retângulo circunscrito à região SS que tem um dos lados paralelos à reta que passa pelos pontos 1−i1 - i e −2+3i-2 + 3i?

  1. 2162\dfrac{21\sqrt{6}}{2}
  2. 12612\sqrt{6}
  3. 15615\sqrt{6}
  4. 14614\sqrt{6}
  5. 3562\dfrac{35\sqrt{6}}{2}

Q7

Sejam r1r_1 e r2r_2 as raízes da equação a1x2+b1x+c1=0a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0, r2r_2 e r3r_3 as raízes da equação a2x2+b2x+c2=0a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0 e r3r_3 e r1r_1 as raízes da equação a3x2+b3x+c3=0a_3 x^2 + b_3 x + c_3 = 0 com r1,r2,r3∈R∗r_1, r_2, r_3 \in \mathbb{R}^* e a1⋅a2⋅a3≠0a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \neq 0. Calcule:

[∏i=13(ai−bi+ciai)]1/2\left[ \prod_{i=1}^3 \left( \frac{a_i - b_i + c_i}{a_i} \right) \right]^{1/2}

  1. r1+r2+r3r_1 + r_2 + r_3
  2. r1r2+r2r3+r3r1r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1
  3. (1+r1)(1+r2)(1+r3)(1 + r_1)(1 + r_2)(1 + r_3)
  4. r1r2r3r_1 r_2 r_3
  5. (1−r1)(1−r2)(1−r3)(1 - r_1)(1 - r_2)(1 - r_3)

Q8

Seja a equação 9x−4⋅5x−12=5x+12−2⋅32x−19^x - 4 \cdot 5^{x-\frac{1}{2}} = 5^{x+\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2x-1}. O seu conjunto solução contém:

  1. nenhum elemento.
  2. um número real positivo e mais nenhum outro elemento.
  3. um número real negativo e mais nenhum outro elemento.
  4. um número real negativo, um número real positivo e mais nenhum outro elemento.
  5. dois números reais positivos e mais nenhum outro elemento.

Q9

Seja nn o número de polinômios de grau 4 que têm coeficientes inteiros, coeficiente do termo de maior grau igual a 1 e cujas raízes também são raízes do polinômio P(x)=x12−1P(x) = x^{12} - 1. O resto da divisão de nn por 5 é:

  1. 00
  2. 11
  3. 22
  4. 33
  5. 44

Q10

Pedro propõe a Maria o seguinte desafio. Existem dez caixas fechadas, sendo que duas delas contêm uma moeda cada e as demais estão vazias. Pedro sabe onde estão as moedas, mas Maria não. Maria ganha um prêmio se encontrar as duas caixas com as moedas. Maria escolhe duas caixas ao acaso. Dentre as oito restantes, Pedro escolhe seis que ele sabe que estão vazias, mostra seu conteúdo a Maria, e as remove do desafio. Ele então oferece a Maria três opções: (1) continuar com as duas caixas originalmente escolhidas; (2) trocar uma das caixas por uma das que sobraram; ou (3) trocar as duas caixas pelas duas que sobraram. Seja P(i)P(i) a probabilidade de Maria ganhar o prêmio se escolher a opção (i)(i). Temos que P(1)+P(2)+P(3)=a/bP(1) + P(2) + P(3) = a/b, onde a/ba/b é uma fração irredutível. O valor de a+ba + b é:

  1. 33
  2. 2626
  3. 5454
  4. 7676
  5. 7878

Q11

Seja o polígono formado pelos vértices (x,y)(x,y) que satisfazem as equações

y=2025xey2=−x2+10145 y = \frac{2025}{x} \quad \text{e} \quad y^2 = -x^2 + 10145

com xx e y∈R∗y \in \mathbb{R}^*. Em relação ao polígono é correto afirmar que:

  1. suas duas diagonais passam pela origem.
  2. seus ângulos internos somam 180 graus.
  3. seu círculo circunscrito tem raio inferior a 100.
  4. ele possui um total de 5 diagonais.
  5. ele inexiste, pois há apenas dois pontos (x,y)(x,y) distintos.

Q12

Considere a equação

∣sen⁡(x)−cos⁡(x)∣+2+tg⁡2(x)+cotg⁡2(x)=3, |\operatorname{sen}(x) - \cos(x)| + \sqrt{2 + \operatorname{tg}^2(x) + \operatorname{cotg}^2(x)} = \sqrt{3},

com x∈(0,6π)x \in (0,6\pi) e x∉{mπ2 / m∈Z}x \notin \left\{\dfrac{m\pi}{2}\ /\ m \in \mathbb{Z}\right\}. O número de soluções dessa equação é:

  1. 00
  2. 22
  3. 44
  4. 66
  5. 88

Q13

Considere a equação

log⁡(0,5cos⁡(4x)+0,5)(0,5⋅sen⁡(4x))=1. \log_{(0{,}5\cos(4x)+0{,}5)}(0{,}5 \cdot \operatorname{sen}(4x)) = 1.

O número de valores de xx, pertencentes ao intervalo [0,π][0,\pi], que satisfazem essa equação é:

  1. 00
  2. 22
  3. 33
  4. 44
  5. 66

Q14

Seja C1C_1 o círculo inscrito em um quadrado ABCDABCD de lado 2, e seja OO o centro de C1C_1. Considere uma reta LL passando pelo vértice AA do quadrado. Um círculo variável, de centro MM, tangencia externamente o círculo C1C_1 e também é tangente à reta LL, de forma que MM e OO estejam no mesmo semiplano definido pela reta LL. O lugar geométrico do ponto MM é:

  1. uma elipse de focos em AA e OO.
  2. um ramo de hipérbole de centro em OO.
  3. uma parábola com foco em OO.
  4. uma circunferência concêntrica a C1C_1.
  5. duas retas paralelas à reta LL.

Q15

Em uma esfera de raio RR inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que a área lateral desse prisma é máxima, o seu valor em função de RR é:

  1. 6R2\sqrt{6}R^2
  2. 3R23R^2
  3. 6R26R^2
  4. 26R22\sqrt{6}R^2
  5. 12R212R^2

Q16

A posição (x,y)(x,y) e a velocidade (vx,vy)(v_x,v_y) do movimento de uma partícula no plano respeita as equações a seguir, onde tt representa o instante de tempo:

x(t)=9vy(t)y(t)=−4vx(t) \begin{aligned} x(t) &= 9v_y(t) \\ y(t) &= -4v_x(t) \end{aligned}

Admitindo todos os dados em unidades SI, pode-se concluir que a trajetória da partícula é uma curva fechada e que o tempo para percorrê-la uma vez é:

  1. 16π\dfrac{1}{6}\pi
  2. 13π\dfrac{1}{3}\pi
  3. 3π3\pi
  4. 6π6\pi
  5. 12π12\pi

Q17

Cientistas estudaram a órbita de um planeta distante P em torno de uma estrela S e concluíram que a razão entre as distâncias de S ao apoastro e de S ao periastro de P é de 9/49/4.

Figura da questão

Portanto, o valor que mais se aproxima da razão entre as energias potenciais gravitacionais de P no apoastro e no ponto B da órbita, mostrado na figura, é:

  1. 57\dfrac{5}{7}
  2. 518\dfrac{5}{18}
  3. 1318\dfrac{13}{18}
  4. 23\dfrac{2}{3}
  5. 47\dfrac{4}{7}

Q18

Figura da questão

Conforme mostra a figura, duas roldanas em forma de anel, inicialmente em repouso, estão engrenadas e, ao iniciarem seus movimentos, cada fio é enrolado ou desenrolado à mesma velocidade escalar dos pontos do perímetro de sua respectiva roldana. Nas extremidades dos fios, existem partículas carregadas penduradas na vertical, ambas sujeitas a um campo elétrico gerado por um plano horizontal infinito uniformemente carregado, com um pequeno furo o suficiente para um dos fios passar.

Dados:

  • massas das roldanas: mm e 2m2m;
  • o raio de uma roldana é o dobro do raio da outra;
  • módulo do campo elétrico vertical: EE;
  • cargas das partículas eletrizadas: −Q-Q e +3Q+3Q.

Observações:

  • as massas das partículas são desprezíveis;
  • as massas das roldanas estão uniformemente distribuídas;
  • as roldanas estão sustentadas por hastes presa ao teto nos respectivos centros;
  • as roldanas giram sempre em torno de seus centros e sem atrito;
  • o segmento que liga os dois centros das roldanas é paralelo ao plano carregado.

Ao ser iniciado o movimento das roldanas, pelo princípio da conservação da energia, a aceleração do fio que sustenta a carga positiva é:

  1. 27EQm\dfrac{2}{7}\dfrac{EQ}{m}
  2. 43EQm\dfrac{4}{3}\dfrac{EQ}{m}
  3. 87EQm\dfrac{8}{7}\dfrac{EQ}{m}
  4. 83EQm\dfrac{8}{3}\dfrac{EQ}{m}
  5. 23EQm\dfrac{2}{3}\dfrac{EQ}{m}

Q19

Figura da questão

A figura mostra a transformação de Lorentz para diversas velocidades (0,3 c0{,}3\,c a 0,9 c0{,}9\,c) de um referencial em movimento em relação a um referencial inercial. Essa transformação é usada para calcular a velocidade relativa (eixo vertical) de um outro objeto se movimentando no mesmo sentido do referencial que está em alta velocidade (0,3 c0{,}3\,c a 0,9 c0{,}9\,c). O eixo horizontal exibe uma escala de velocidade em relação ao referencial inercial e o eixo vertical informa a velocidade relativa entre objeto e o referencial em movimento.

Uma nave X e uma nave Y viajam, nos mesmos sentido e direção. A nave X se aproxima de uma fonte de luz parada em relação a um referencial inercial, enquanto que a nave Y se afasta da fonte. Ambas as naves portanto percebem comprimentos de onda diferentes daquele emitido pela fonte.

Dados:

  • comprimento de onda emitido pela fonte parada no referencial inercial: λ\lambda;
  • comprimento de onda percebido pela nave X: λ/2\lambda/2;
  • comprimento de onda percebido pela nave Y: 3λ3\lambda;
  • velocidade da luz: cc.

Observação:

  • a fonte e as naves estão sempre colineares.

Com as informações descritas, conclui-se que o módulo da velocidade relativa entre as naves é de aproximadamente:

  1. 0,20 c0{,}20\,c
  2. 0,15 c0{,}15\,c
  3. 0,75 c0{,}75\,c
  4. 0,92 c0{,}92\,c
  5. 0,39 c0{,}39\,c

Q20

Figura da questão

Seja o arranjo tridimensional de cascas esféricas da figura acima, totalmente em repouso e geometricamente simétrico, composto da seguinte forma:

Dados:

  • na origem, dentro de uma cavidade de vácuo, encontra-se uma partícula de carga −Q-Q;
  • na região a≤r<2aa \leq r < 2a, há uma camada metálica condutora inicialmente descarregada;
  • em r=2ar = 2a, há uma casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga +q+q;
  • na região 2a<r<3a2a < r < 3a, há outra cavidade de vácuo;
  • na região 3a≤r<4a3a \leq r < 4a, há outra camada metálica condutora inicialmente descarregada;
  • em r=4ar = 4a, há outra casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga +q+q.

Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático nas camadas condutoras, a carga superficial total induzida em r=3ar = 3a é:

  1. −Q+2q-Q + 2q
  2. −q-q
  3. +Q−2q+Q - 2q
  4. +Q+Q
  5. +Q−q+Q - q

Q21

Figura da questão

A figura mostra duas polias acopladas por meio de uma plataforma. As juntas estão localizadas em pontos equivalentes das polias, de forma que a plataforma esteja sempre na horizontal. Um bloco de massa mm é colocado sobre a plataforma.

Dados:

  • distância entre o centro de uma polia e sua junta de acoplamento: R=340,44 mR = \dfrac{3}{4}\sqrt{0{,}44}\,\mathrm{m};
  • aceleração da gravidade: g=10 m/s2g = 10\,\mathrm{m/s^2};
  • coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma: 0,44\sqrt{0{,}44};
  • o máximo de a⋅cos⁡(θ)+b⋅sen⁡(θ)a\cdot\cos(\theta) + b\cdot\operatorname{sen}(\theta) é a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}.

O valor máximo da rotação ω\omega das polias para que o bloco não deslize na direção horizontal sobre a plataforma, em rad/s, é:

  1. 154\dfrac{15}{4}
  2. 103\dfrac{10}{3}
  3. 232\sqrt{3}
  4. 353\sqrt{5}
  5. 252\sqrt{5}

Q22

Figura da questão

Na ilustração acima, três forças são aplicadas a uma viga horizontal estável de peso desprezível. Supondo FBF_B e FAF_A como sendo as reações nos apoios B e A, respectivamente, o equilíbrio da viga resulta que a razão entre os módulos de FBF_B e FAF_A é aproximadamente:

  1. 3,503{,}50
  2. 0,290{,}29
  3. 2,102{,}10
  4. 1,831{,}83
  5. 2,502{,}50

Q23

Figura da questão

Duas máquinas térmicas, ambas operando em ciclos de Carnot, são acopladas em série. A primeira máquina recebe calor de um reservatório térmico que se encontra a uma temperatura T1T_1, produz certa quantidade de trabalho e rejeita calor para um reservatório térmico intermediário de temperatura T2T_2 desconhecida. Por sua vez, este reservatório cede calor para a segunda máquina que também produz trabalho e cede energia para um terceiro reservatório térmico cuja temperatura é T3T_3.

O trabalho disponibilizado pela segunda máquina é 40% daquele associado ao primeiro ciclo. Já o calor que alimenta a segunda máquina é igual a 80% da energia rejeitada pelo primeiro ciclo para a fonte intermediária.

Dados:

  • Temperatura T1T_1 : 900K;
  • Temperatura T3T_3 : 300K.

A partir do contexto acima, a soma numérica dos rendimentos das duas máquinas é igual a:

  1. 1245\dfrac{12}{45}
  2. 1545\dfrac{15}{45}
  3. 3845\dfrac{38}{45}
  4. 4045\dfrac{40}{45}
  5. 4345\dfrac{43}{45}

Q24

Figura da questão

Um soldado lança uma granada a uma velocidade inicial de 102 m/s10\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}, por uma direção que perfaz um ângulo de 45°45° com o solo. Antes de atingir o solo, a granada explode, dividindo-se em dois fragmentos de 2/32/3 e 1/31/3 de sua massa inicial. Após a explosão, o fragmento mais leve se projeta à direita e o mais pesado à esquerda, conforme a figura. Exatamente após 1,9 s do lançamento da granada, o fragmento mais pesado atinge um pequeno buraco de 5 cm de profundidade no solo.

Dado:

  • aceleração da gravidade: g=10 m/s2g = 10\,\mathrm{m/s^2}.

No instante em que o fragmento mais pesado atinge o solo, a distância vertical, em cm, do fragmento mais leve até o solo é:

  1. 55
  2. 9595
  3. 295295
  4. 145145
  5. 195195

Q25

Duas malhas resistivas são construídas conforme a figura.

Figura da questão

Dica:

  • R=R/2+R/2\mathrm{R} = \mathrm{R}/2 + \mathrm{R}/2.

A razão entre as correntes I1\mathrm{I}_1 e I2\mathrm{I}_2 é um número real pertencente ao intervalo:

  1. (0 , 1/2)(0\,,\,1/2)
  2. (1/2 , 1)(1/2\,,\,1)
  3. (1 , 3/2)(1\,,\,3/2)
  4. (3/2 , 2)(3/2\,,\,2)
  5. (2 , 5/2)(2\,,\,5/2)

Q26

Figura da questão

Uma corda perfeitamente flexível e inextensível está com suas extremidades presas a dois pontos, separados pela distância 2L2L, no teto horizontal de uma sala. A curva feita pela corda é conhecida na estática como catenária, sendo dada por:

y(x)=(ex/b+e−x/b).b/2 y(x) = (e^{x/b} + e^{-x/b}).b/2

onde bb é uma constante que depende de dimensões do aparato montado.

Dados:

  • −L≤x≤+L-L \leq x \leq +L;
  • tan⁡θ(x)=(ex/b−e−x/b)/2\tan\theta(x) = (e^{x/b} - e^{-x/b})/2;
  • densidade linear da corda: constante;
  • comprimento total da corda: SS;
  • aceleração da gravidade: gg.

Dica:

  • obtenha equações de equilíbrio estático na corda como um todo e depois em metade da corda.

O valor local mínimo da velocidade de um pulso ondulatório transversal é:

  1. 12Sg(eL/b−e−L/b)\sqrt{\dfrac{1}{2}Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}
  2. Sg(eL/b−e−L/b)\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}
  3. 12Sg(eL/b−e−L/b)−1\dfrac{1}{2}\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})^{-1}}
  4. Sg(eL/b−e−L/b)−1\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})^{-1}}
  5. 12Sg(eL/b−e−L/b)\dfrac{1}{2}\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}

Q27

Figura da questão

Considere o projétil mostrado na Figura 1 que consiste de uma pilha e um ímã em cada uma das extremidades, cada um deles fazendo contato com o solenoide. O atirador coloca o projétil completamente no interior do solenoide, começando da extremidade direita e, a partir desse momento, o projétil sai do repouso e acelera para a outra extremidade, conforme mostrado na Figura 2.

Dados:

  • resistência por espira do solenoide: 0,04 Ω0{,}04\,\Omega;
  • os pontos de contato dos ímãs com o solenoide sempre distam 10 espiras;
  • campo magnético produzido pelos ímãs: 1,5 T1,5 \ T;
  • ddp da pilha: 6 V6 \ V;
  • massa do projétil: 10 g10 \ g;
  • comprimento do projétil: 50 mm50 \ mm;
  • comprimento do solenoide: 300 mm300 \ mm;
  • permeabilidade magnética do meio: 2⋅10−6 T⋅m/A2\cdot10^{-6}\,\mathrm{T\cdot m/A}.

Observação:

  • experimentalmente estima-se que a força à qual o projétil é submetido, em Newtons, é numericamente igual a 45 vezes o produto entre o campo magnético produzido pela circulação da corrente no interior do solenoide e o campo magnético produzido pelo ímã (ambos em Tesla).

Dado o contexto, o projétil começa a deixar o solenoide à velocidade, em m/s, de:

  1. 4,54{,}5
  2. 5,05{,}0
  3. 3,03{,}0
  4. 3,53{,}5
  5. 4,04{,}0

Q28

Figura da questão

Um certo número de pequenas esferas de uma liga metálica é colocado no interior de três tubos verticais de PVC, conectados em série, inicialmente conforme o desenho da figura. As passagens de A para B e de B para C estão fechadas por membranas resistentes.

Num experimento, o conjunto sofre inversões, onde uma inversão é um giro de 180°180°. Nas primeiras 8 inversões, as esferas percorrem apenas o tubo A. Em seguida, retira-se a membrana entre A e B, e as esferas percorrem os tubos A + B por mais 10 inversões. Por fim, retira-se a membrana entre B e C, e as esferas percorrem os tubos A + B + C por mais 12 inversões.

Dados:

  • calor específico da liga metálica: c=150 J/(kg⋅°C)c = 150\,\mathrm{J/(kg\cdot°C)};
  • aceleração da gravidade: g=10 m/s2g = 10\,\mathrm{m/s^2}.

Observações:

  • durante uma inversão, considere que as bolinhas permaneçam na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caiam após o fim da inversão;
  • despreze o volume das esferas e a espessura das membranas;
  • para a transformação em calor, considere apenas a totalidade da energia proveniente das quedas das bolinhas.

Ao final das 30 inversões, o aumento de temperatura das esferas, em °C°C, é:

  1. 2,52{,}5
  2. 2,02{,}0
  3. 1,51{,}5
  4. 1,01{,}0
  5. 0,50{,}5

Q29

Figura da questão

A latitude e a longitude são coordenadas geográficas que oferecem a posição de ponto qualquer na Terra. A latitude é referenciada em relação à Linha do Equador (0° a 90°, Norte ou Sul). Já a longitude é referenciada em relação ao Meridiano de Greenwich (0° a 180°, Leste ou Oeste).

Sobre a superfície da Terra, uma fibra ótica deve ligar dois pontos A e B.

Dados:

  • coordenadas do ponto A: latitude 45° Norte e longitude 0°;
  • coordenadas do ponto B: latitude 45° Norte e longitude 90° Leste;
  • raio da Terra: RR ;
  • índice de refração da fibra ótica: nn ;
  • velocidade da luz no vácuo: cc.

O menor tempo de viagem possível de um sinal ótico pela fibra, a ser posicionada sobre a superfície da Terra, entre os pontos A e B é:

  1. πRn6c\dfrac{\pi Rn}{6c}
  2. 3πRn4c\dfrac{\sqrt{3}\pi Rn}{4c}
  3. 2πRn4c\dfrac{\sqrt{2}\pi Rn}{4c}
  4. πRn3c\dfrac{\pi Rn}{3c}
  5. 3πRn2c\dfrac{\sqrt{3}\pi Rn}{2c}

Q30

Figura da questão

As situações acima mostram um balde contendo um líquido de densidade conhecida. O balde é colocado em uma balança que atinge o equilíbrio em duas situações. Na Situação 1, o equilíbrio ocorre quando, no lado da balança oposto ao balde, é colocado um objeto de massa M1M_1, que é igual também à massa do líquido. Já, na Situação 2, a balança entra em equilíbrio quando, no lado da balança oposto ao balde, é colocado um objeto de massa M2M_2. Ainda na Situação 2, uma esfera é totalmente imersa no líquido por um pesquisador, com a superfície da esfera tangenciando a face do líquido. O pesquisador mantém sua mão imóvel e em contato com a esfera, de forma que nenhuma parte de sua mão fique submersa.

Dados:

  • massa específica do líquido: ρ\rho;
  • raio da esfera: RR;
  • massa da esfera: mem_e.

Observações:

  • despreze as massas do balde e dos demais componentes da balança;

Para garantir a consistência das informações, a massa M2M_2 é:

  1. M1+43ρπR3+meM_1 + \dfrac{4}{3}\rho\pi R^3 + m_e
  2. M1+meM_1 + m_e
  3. M1−43ρπR3+meM_1 - \dfrac{4}{3}\rho\pi R^3 + m_e
  4. M1+43ρπR3M_1 + \dfrac{4}{3}\rho\pi R^3
  5. M1+43ρπR3−meM_1 + \dfrac{4}{3}\rho\pi R^3 - m_e

Q31

Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger formulou a equação que descreve matematicamente o comportamento ondulatório do elétron no átomo. As soluções da equação para o átomo de hidrogênio levam naturalmente ao surgimento dos números quânticos principal (n)(n), azimutal (l)(l) e magnético (ml)(m_l), que caracterizam os orbitais atômicos. A descrição completa dos estados eletrônicos inclui ainda o número quântico de spin (ms)(m_s), introduzido posteriormente.

Considere um elétron pertencente ao subnível 3p. Com base nas definições dos números quânticos, assinale a alternativa correta.

  1. O número quântico principal do elétron é n=2n = 2.
  2. O número quântico azimutal do elétron é l=2l = 2.
  3. O número quântico magnético do elétron pode assumir os valores ml=−1m_l = -1, 00 ou +1+1.
  4. O elétron só pode apresentar spin ms=+12m_s = +\frac{1}{2}.
  5. O subnível ao qual o elétron pertence comporta, no máximo, oito elétrons.

Q32

Sejam as duas moléculas abaixo:

Figura da questão

Considere que ambas sofrerão mononitração nos anéis aromáticos via substituição eletrofílica.

Dentre as opções a seguir, indique aquela que apresenta as posições mais viáveis de introdução do grupo nitro nas moléculas I e II, respectivamente.

  1. 5 e 2
  2. 4 e 3
  3. 6 e 2
  4. 3 e 3
  5. 4 e 2

Q33

Considere as seguintes reações:

  1. oxidação de CrClX3\ce{CrCl3} com BrX2\ce{Br2} em meio básico (KOH\ce{KOH}).
  2. oxidação de KNOX2\ce{KNO2} com KMnOX4\ce{KMnO4} em meio ácido (HX2SOX4\ce{H2SO4}).
  3. ação do ClX2\ce{Cl2} em água de cal (Ca(OH)X2\ce{Ca(OH)2}) a frio.

Assinale a alternativa que contém APENAS reações quimicamente possíveis.

  1. i. 2 CrClX3+3 BrX2+16 KOH→2 KX2CrOX3+6 KBr+6 KCl+8 HX2O+OX2\ce{2 CrCl3 + 3 Br2 + 16 KOH -> 2 K2CrO3 + 6 KBr + 6 KCl + 8 H2O + O2};
    ii. 5 KNOX2+2 KMnOX4+3 HX2SOX4→2 MnOX2+KX2SOX4+5 KNOX3+2 SOX2+3 HX2O\ce{5 KNO2 + 2 KMnO4 + 3 H2SO4 -> 2 MnO2 + K2SO4 + 5 KNO3 + 2 SO2 + 3 H2O};
    iii. 2 ClX2+2 Ca(OH)X2→Ca(ClO)X2+CaClX2+2 HX2O\ce{2 Cl2 + 2 Ca(OH)2 -> Ca(ClO)2 + CaCl2 + 2 H2O}
  2. i. 2 CrClX3+3 BrX2+16 KOH→2 KX2CrOX4+6 KBr+6 KCl+8 HX2O\ce{2 CrCl3 + 3 Br2 + 16 KOH -> 2 K2CrO4 + 6 KBr + 6 KCl + 8 H2O};
    ii. 5 KNOX2+2 KMnOX4+3 HX2SOX4→2 MnSOX4+KX2SOX4+5 KNOX3+3 HX2O\ce{5 KNO2 + 2 KMnO4 + 3 H2SO4 -> 2 MnSO4 + K2SO4 + 5 KNO3 + 3 H2O};
    iii. 2 ClX2+2 Ca(OH)X2→Ca(ClO)X2+CaClX2+2 HX2O\ce{2 Cl2 + 2 Ca(OH)2 -> Ca(ClO)2 + CaCl2 + 2 H2O}
  3. i. 2 CrClX3+3 BrX2+16 KOH→2 KX2CrOX4+6 KBr+6 KCl+8 HX2O\ce{2 CrCl3 + 3 Br2 + 16 KOH -> 2 K2CrO4 + 6 KBr + 6 KCl + 8 H2O};
    ii. 5 KNOX2+2 KMnOX4+3 HX2SOX4→2 MnOX2+KX2SOX4+5 KNOX3+2 SOX2+3 HX2O\ce{5 KNO2 + 2 KMnO4 + 3 H2SO4 -> 2 MnO2 + K2SO4 + 5 KNO3 + 2 SO2 + 3 H2O};
    iii. 2 ClX2+Ca(OH)X2→CaClX2+ClX2O+HX2O\ce{2 Cl2 + Ca(OH)2 -> CaCl2 + Cl2O + H2O}
  4. i. 2 CrClX3+3 BrX2+16 KOH→2 KX2CrOX4+6 KBr+6 KCl+8 HX2O\ce{2 CrCl3 + 3 Br2 + 16 KOH -> 2 K2CrO4 + 6 KBr + 6 KCl + 8 H2O};
    ii. 5 KNOX2+2 KMnOX4+3 HX2SOX4→2 MnOX2+KX2SOX4+5 KNOX3+2 SOX2+3 HX2O\ce{5 KNO2 + 2 KMnO4 + 3 H2SO4 -> 2 MnO2 + K2SO4 + 5 KNO3 + 2 SO2 + 3 H2O};
    iii. 2 ClX2+Ca(OH)X2→CaClX2+ClX2O+HX2O\ce{2 Cl2 + Ca(OH)2 -> CaCl2 + Cl2O + H2O}
  5. i. 2 CrClX3+3 BrX2+16 KOH→2 KX2CrOX3+6 KBr+6 KCl+8 HX2O+OX2\ce{2 CrCl3 + 3 Br2 + 16 KOH -> 2 K2CrO3 + 6 KBr + 6 KCl + 8 H2O + O2};
    ii. 5 KNOX2+2 KMnOX4+3 HX2SOX4→2 MnSOX4+KX2SOX4+5 KNOX3+3 HX2O\ce{5 KNO2 + 2 KMnO4 + 3 H2SO4 -> 2 MnSO4 + K2SO4 + 5 KNO3 + 3 H2O};
    iii. 2 ClX2+Ca(OH)X2→CaClX2+ClX2O+HX2O\ce{2 Cl2 + Ca(OH)2 -> CaCl2 + Cl2O + H2O}

Q34

Uma indústria química realiza o tratamento eletrolítico de soluções contendo íons cloreto para a produção de cloro gasoso, amplamente utilizado na desinfecção de água e em processos industriais. Durante uma etapa do processo, uma corrente elétrica constante de 11 A\pu{11 A} é aplicada por 5252 minutos a uma solução aquosa de cloreto crômico.

Considerações:

  • O cloro é liberado no anodo segundo a reação: 2 ClX−→ClX2+2 eX−\ce{2 Cl- -> Cl2 + 2 e-}
  • Constante de Faraday =96500 C= \pu{96500 C}/mol de elétrons.

Assinale a alternativa que apresenta o volume aproximado, em litros, de gás cloro produzido nas CNTP.

  1. 0,180,18
  2. 0,360,36
  3. 2,02,0
  4. 4,04,0
  5. 8,08,0

Q35

Sobre o penta-2,3-dieno, é correto afirmar que:

  1. sua molécula não apresenta isomeria ótica.
  2. reage com alcenos pelo mecanismo de Diels-Alder, produzindo um cicloalcano.
  3. as duas ligações π\pi compartilham o mesmo conjunto de orbitais p paralelos, formando um único sistema π\pi estendido.
  4. sua molécula apresenta 3 carbonos com hibridização sp².
  5. a ozonólise completa de sua molécula produz duas moléculas de etanal e uma molécula de gás carbônico.

Q36

Tendo em vista a tabela a seguir, acerca da primeira energia de ionização dos elementos do segundo período da Tabela Periódica:

Figura da questão

Pode-se afirmar que, com relação à primeira energia de ionização, a do:

  1. Lítio é a menor porque o seu raio atômico é o menor dentre os elementos do segundo período.
  2. Berílio é mais alta do que a do Boro, pois é mais difícil remover um elétron do orbital 2p do que de um orbital 2s.
  3. Oxigênio é mais baixa do que a do Nitrogênio porque, naquele, há repulsão intereletrônica de um par de elétrons no suborbital 2p.
  4. Flúor é mais alta do que a do Oxigênio porque, naquele, há repulsão intereletrônica de dois pares de elétrons no suborbital 2p.
  5. Neônio é a mais alta do seu Grupo pois se trata do gás nobre de maior raio atômico.

Q37

Assinale a única alternativa correta.

  1. O DNA é formado pelas bases nitrogenadas adenina, guanina, citosina e timina. As duas primeiras são purinas e as duas últimas são pirimidinas.
  2. Gorduras são uma fonte eficiente de armazenamento de energia porque seus átomos de carbono apresentam estados de oxidação mais altos que os átomos de carbono nos carboidratos e nas proteínas.
  3. Vitaminas hidrossolúveis tendem a se acumular no corpo, então consumi-las em excesso pode ser prejudicial.
  4. A celulose é um polímero cujo monômero é a frutose.
  5. Caseína, queratina e lignina são exemplos de proteínas.

Q38

A variação da energia livre de Gibbs em condições não padrão é descrita pela equação:

ΔG=ΔGo+RTln⁡(Q) \Delta G = \Delta G^o + RT \ln(Q)

A hidrólise do ATP pode ser representada por:

ATP+HX2O→ADP+PXi \ce{ATP + H2O -> ADP + P_i}

Considere uma célula a 25 ∘C\pu{25 °C}, na qual as concentrações são mantidas constantes com os valores:

  • [ATP]=1⋅10−3 mol/L[\ce{ATP}] = \pu{1e-3 mol/L}
  • [ADP]=1⋅10−4 mol/L[\ce{ADP}] = \pu{1e-4 mol/L}
  • [PXi]=1⋅10−2 mol/L[\ce{P_i}] = \pu{1e-2 mol/L}

Dados:

  • ΔGo=−7,7⋅103 cal/mol\Delta G^o = \pu{-7,7e3 cal/mol}
  • R=1,987 calmol ⋅ KR = \pu{1,987 cal//mol.K}
  • ln⁡(10)=2,303\ln(10) = 2{,}303

Assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo de ΔG\Delta G e a interpretação correta do processo:

  1. ΔG=−3,61⋅103 cal/mol\Delta G = \pu{-3,61e3 cal/mol}; a reação encontra-se em equilíbrio.
  2. ΔG=−1,18⋅104 cal/mol\Delta G = \pu{-1,18e4 cal/mol}; a reação é espontânea no sentido direto.
  3. ΔG=+4,1⋅103 cal/mol\Delta G = \pu{+4,1e3 cal/mol}; a reação não é espontânea.
  4. ΔG=−7,7⋅103 cal/mol\Delta G = \pu{-7,7e3 cal/mol}; a reação encontra-se em equilíbrio.
  5. ΔG=0\Delta G = 0; as concentrações indicam que QQ é igual à constante de equilíbrio KK.

Q39

Considere as reações a seguir:

  1. HCOX3X−(aq)+OHX−(aq)→COX3X2−(aq)+HX2O(l)\ce{HCO3^- (aq) + OH^- (aq) -> CO3^2- (aq) + H2O(l)}

  2. HCOX3X−(aq)+HF(aq)→HX2COX3(aq)+FX−(aq)\ce{HCO3^- (aq) + HF(aq) -> H2CO3(aq) + F^- (aq)}

  3. BFX3(g)+(CHX3)X3N(g)→(CHX3)X3N ⋅ BFX3(s)\ce{BF3(g) + (CH3)3N(g) -> (CH3)3N.BF3(s)}

  4. [Fe(HX2O)X6]X3+(aq)+SCNX−(aq)→[Fe(SCN)(HX2O)X5]X2+(aq)+HX2O(l)\ce{[Fe(H2O)6]^3+ (aq) + SCN^- (aq) -> [Fe(SCN)(H2O)5]^2+ (aq) + H2O(l)}

Sobre essas reações, analise as afirmativas:

I. A teoria de Arrhenius classifica o HCOX3X−\ce{HCO3^-} como ácido na reação i e como base na reação ii.

  1. A trimetilamina atua como base quando a reação iii é interpretada pela teoria de Brønsted-Lowry.

  2. A reação iv é uma reação ácido-base segundo a teoria de Lewis.

Está correto o que se afirma em:

  1. I e III, apenas.
  2. II e III, apenas.
  3. I, apenas.
  4. II, apenas.
  5. III, apenas.

Q40

Três recipientes rígidos AA, BB e CC, de volume VV, 2V2V e 3V3V, respectivamente, contêm uma mistura gasosa ideal formada por até três gases inertes XX, YY, ZZ, à mesma temperatura. Inicialmente, os recipientes estão isolados entre si e possuem pressões totais PP, 2P2P e 3P3P, respectivamente. Além disso, desconhece-se as pressões parciais dos gases em cada recipiente. Após a abertura simultânea das válvulas que os interligam, e o estabelecimento do equilíbrio à mesma temperatura, as pressões parciais finais uniformes em todo o sistema são PXP_X, PYP_Y, PZP_Z.

Antes da abertura das válvulas, sabe-se que:

  1. o recipiente AA não contém o gás ZZ.

  2. o recipiente BB não contém o gás YY.

  3. o recipiente CC não contém o gás XX.

Indique qual das alternativas a seguir apresenta os limites estritamente aplicáveis ao processo, em termos de PXP_X, PYP_Y e PZP_Z.

  1. P/3≤PX+PY≤5P/2P/3 \leq P_X + P_Y \leq 5P/2
  2. 0≤PX≤2P/30 \leq P_X \leq 2P/3
  3. 2P/3≤PX+PZ≤7P/32P/3 \leq P_X + P_Z \leq 7P/3
  4. 0≤PY≤P/20 \leq P_Y \leq P/2
  5. P/3≤PY+PZ≤5P/3P/3 \leq P_Y + P_Z \leq 5P/3