2ª Fase - Física

Um trem de massa $M$ desloca-se a uma velocidade constante $v$ sobre trilhos horizontais. Para garantir a aderência em curvas, as rodas do trem possuem formato de tronco de cone regular com ângulo $\theta$ com a horizontal, conforme se observa na figura. Considerando que o raio de curvatura é muito maior que as dimensões do trem e que o eixo das rodas permanece na horizontal, calcule o raio de curvatura mínimo para que nenhuma das rodas perca o contato com o trilho nas seguintes situações:

1. quando o coeficiente de atrito estático entre as rodas e o trilho é $\mu$;

2. quando o atrito é desprezível;

3. quando o coeficiente de atrito estático é $\mu$ e as rodas são cilíndricas.

Uma barra rígida, homogênea e uniforme, de massa $M$ e comprimento $L$, possui dois apoios fixos, $A$ e $B$, que estão em contato com um plano inclinado que forma um ângulo $\theta$ com a horizontal. Os pontos de contato com o plano inclinado estão localizados a uma distância $d$ de cada extremidade da barra, conforme ilustrado na figura. Um objeto de massa $m$ está preso à barra a uma distância $a$ da extremidade inferior. Para manter o equilíbrio, um contrapeso de massa $m_c$ é acoplado a uma distância $b$ da extremidade superior da barra. Admita que os apoios sofrem forças de atrito estático.

Considerando que a barra permanece em repouso, faça o que se pede nos itens a seguir, expressando as respostas em termos dos parâmetros dados ($M$, $m$, $m_c$, $L$, $d$, $a$, $b$, $g$, $\theta$).

1. Determine o valor das forças normais exercidas sobre os apoios $A$ e $B$.

2. Calcule a força de atrito em cada apoio, que impeça o deslizamento da barra ao longo do plano.

Uma haste fina e homogênea de comprimento total $L$ e massa $M$ está presa a um pivô fixo, localizado a uma distância $a$ de uma das extremidades, conforme a figura. A haste pode girar livremente em um plano vertical sob a ação da gravidade. Em determinado instante, ela gira com velocidade angular $\omega$ em torno do pivô, formando um ângulo $\theta$ com a vertical.

Dadas as considerações, calcule

1. a componente radial da força de reação exercida pelo pivô sobre a haste nesse instante, em função de $M$, $L$, $a$, $\theta$, $\omega$ e $g$;

2. o ângulo $\theta$ para que a componente radial da força de reação se anule, em função de $M$, $L$, $a$, $\omega$ e $g$.

Considere um objeto de massa $m$ que descreve uma trajetória elíptica sob a influência de uma estrela de massa $M$ ($M \gg m$). Devido a instabilidades internas, ele se separa em duas partes de massas $m_1$ e $m_2$, com $m_1 = 4m_2$. Em um determinado instante, as posições das massas $m_1$ e $m_2$ são, respectivamente, dadas por $P_1 = \left(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{b}{4}\right)$ e $P_2 = (a, y_2)$, em que $a$ é o semieixo maior, $b$ é o semieixo menor e os focos da elipse descrita originalmente por $m$ estão no eixo $x$.

Considerando que a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro da elipse, determine

1. $y_2$;

2. a menor energia potencial gravitacional possível do sistema nesse instante.

Uma viga fina, cilíndrica, incompressível, maciça de cobre (massa molar $M_{\ce{Cu}}$), de massa $m$, comprimento $L$ e coeficiente de expansão térmica linear $\alpha$, está posicionada verticalmente sobre o piso de um recipiente que contém um banho de água (calor específico $c_{\ce{H2O}}$ e densidade $\rho_{\ce{H2O}}$) com volume $V$, inicialmente à temperatura ambiente de $\pu{20 °C}$. Sobre a extremidade superior da viga, é colocada uma massa $M_1$, que exerce uma força compressiva ao longo de seu eixo. Uma fonte de calor é então acionada, fornecendo energia ao banho até que sua temperatura atinja $\pu{90 °C}$. Nesse momento, a fonte de calor é desligada, e a massa $M_1$ é imediatamente substituída por uma massa menor, $M_2$. Com a fonte desligada e a massa reduzida, o sistema esfria e retorna à temperatura ambiente de $\pu{20 °C}$. Assim que essa temperatura é atingida, a massa $M_1$ é recolocada sobre a viga, e a fonte de calor é religada, reiniciando-se o ciclo. Admita que não há troca de calor de $M_1$ ou $M_2$ com o sistema.

Considerando válida a lei de Dulong-Petit: $c_V = 3R$ (calor específico molar) para sólidos cristalinos, em que $R$ é a constante universal dos gases, determine

1. o trabalho total realizado em um ciclo;

2. a eficiência da máquina térmica descrita.

Uma luneta astronômica é composta por duas lentes delgadas dispostas em um tubo: uma lente objetiva de distância focal $f_1 = \pu{+80 cm}$; e uma lente ocular de distância focal $f_2 = \pu{+5,0 cm}$.

Sabendo que, nesse equipamento, as imagens dos objetos celestes observados são formadas a longas distâncias do observador, faça o que se pede nos itens a seguir.

1. Calcule o comprimento $L$ do tubo que separa as lentes.

2. Calcule o aumento angular $G$ da luneta para objetos a longas distâncias e indique a orientação da imagem.

3. Descreva a posição e o tipo de imagem conjugada pela luneta de um objeto localizado a $\pu{40 cm}$ da lente objetiva. A imagem final é maior ou menor que o objeto?

Um feixe cilíndrico e homogêneo de luz laser de intensidade $I_0$ incide sobre um sistema de $N+1$ polarizadores dispostos em sequência. O eixo de polarização de cada polarizador forma um ângulo $\beta$ com o eixo de polarização do polarizador anterior, de modo que $\phi = N\beta$ é o ângulo entre o eixo de polarização do último polarizador e o do primeiro. O laser possui polarização paralela ao eixo do primeiro polarizador e, devido a reflexões e absorções, sua intensidade após a passagem por cada polarizador é igual a uma fração $x$ daquela que seria obtida em um caso ideal.

Considerando $P$ a potência registrada por um analisador após o feixe atravessar todo o sistema, determine, em termos de $I_0$, $\phi$, $x$, $N$ e $P$,

1. a intensidade do feixe após passar pelo sistema;

2. o raio do feixe.

Um celular de massa $\pu{100 g}$ e calor específico médio de $\pu{2,0 J//g.°C}$, com bateria de $\pu{2 Ah}$ de capacidade de carga e tensão de $\pu{5,0 V}$, é carregado completamente em $\pu{20 min}$ por um carregador indutivo dotado de um solenoide de $20$ espiras por centímetro, seção transversal circular de raio $\pu{0,5 cm}$ e comprimento $\pu{2 cm}$. O celular possui um solenoide idêntico que se acopla perfeitamente ao solenoide do carregador durante o carregamento. O carregamento é realizado por ciclos, em cada qual a bobina do carregador é percorrida por uma corrente elétrica que varia linearmente entre $0$ e $\pu{14 A}$ em um período de tempo $\Delta t$, o que induz uma f.e.m. de módulo igual à tensão da bateria na bobina do celular, permanecendo constante durante todo o processo de carregamento. O processo de carregamento foi responsável pelo aumento da temperatura média do aparelho de $\pu{20 °C}$ para $\pu{50 °C}$.

Considerando que a bateria estava totalmente descarregada no início do processo, determine

1. o mínimo valor possível da potência média, em watts, fornecida pelo carregador;

2. o máximo valor possível de $\Delta t$ em segundos.

Uma grade de difração está posicionada horizontalmente a $\pu{20 cm}$ acima do solo, na qual incide luz solar perpendicularmente. No solo, a projeção do primeiro máximo de difração do laranja ($\pu{600 nm}$) ocorre a $\pu{20 cm}$ do ponto central.

Dada as considerações, determine

1. a distância entre as ranhuras da grade de difração;

2. a distância do primeiro máximo de difração do violeta ($\pu{400 nm}$) até o ponto central.

Considere uma missão espacial cujo objetivo é coletar dados do sistema planetário da estrela Sirius, localizada a $\pu{8,6}$ anos-luz do nosso sistema Solar. Para tal, duas espaçonaves são lançadas da Terra de forma que atingem as fronteiras do sistema Solar ao mesmo instante $t_0$, para um observador na Terra, em trajetórias paralelas e velocidades constantes, $v_1 = \pu{0,8}c$ e $v_2 = \pu{0,6}c$, em que $c$ é a velocidade da luz. Assim que chega ao sistema planetário de Sirius, a espaçonave 1 emite um sinal para a espaçonave 2.

Dada as considerações, determine

1. o tempo transcorrido na Terra, desde o instante $t_0$ até que a espaçonave 2 receba o sinal emitido pela espaçonave 1;

2. o tempo transcorrido para os astronautas da espaçonave 2, desde o instante $t_0$ até que recebam o sinal emitido pela espaçonave 1.