2ª Fase - Matemática

Encontre os valores reais $a$ e $b$ tais que o polinômio $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$, ao ser dividido por $x^2 - x + 1$, deixe resto $2x + 1$.

Seja $E$ uma elipse com eixo focal no eixo $O_x$ do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de $E$ é o ponto $(r, 0)$, com $r > 0$, sua excentricidade é $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, e seu semieixo maior mede $\sqrt{2}$. Considerando os pontos $(x, y) \in E$, determine o valor de $r$ para que $\dfrac{y}{x}$ tenha valor máximo igual a $1$.

Sejam $\alpha, \beta \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ tais que $$\text{sen}(\alpha) - \text{sen}(\beta) = \dfrac{1}{4} \quad\text{e}\quad \text{sen}(\alpha) - 2\,\text{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \dfrac{3}{4}.$$ Calcule o valor de $\text{sen}(\alpha + \beta)$.

Seja $ABC$ um triângulo de lados $m(\overline{AB}) = 6$, $m(\overline{AC}) = 10$ e $m(\overline{BC}) = 14$. Calcule o raio da circunferência externa ao triângulo $ABC$ que tangencia simultaneamente o segmento $\overline{BC}$ e as retas suportes $AB$ e $AC$.

Usando as aproximações $\log_{10} 2 = \pu{0,3010}$, $\log_{10} 3 = \pu{0,4771}$ e $\log_{10} 7 = \pu{0,8450}$, determine o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) do resultado de $3^{100}$.

Uma moeda não viciada é lançada $n$ vezes. Encontre os valores de $n$ que maximizam a probabilidade de sair cara pela quarta vez exatamente no enésimo lançamento.

Considere o polinômio $p(x) = x^3 + ax^2 + b$. Determine os valores reais $a$ e $b$, sabendo que:

I. $p(x)$ tem uma raiz real dupla;

II. Os pontos $(x_1, 0)$, $(x_2, 0)$ e $(0, b)$ são vértices de um triângulo retângulo, em que $x_1$ e $x_2$ são raízes distintas de $p(x)$.

Seja $A_k = (a_{ij})$ uma matriz quadrada de ordem $k$, em que $a_{ij} = \max\{i,j\}$ para todo $i,j$ em $\{1, 2, \cdots, k\}$. Determine $\displaystyle\sum_{k=1}^{2025} \det(A_k)$.

Determine a quantidade de matrizes $5 \times 5$ invertíveis e com entradas inteiras que satisfazem a propriedade $A^{-1} = A^T$.

Calcule a área da projeção ortogonal de um cubo de aresta $2$ sobre um plano perpendicular a uma das diagonais do cubo.