2ª Fase - Matemática

Considere um octaedro regular, centrado na origem, com três vértices em $(5,0,0)$, $(0,5,0)$ e $(0,0,5)$. Quantos pontos, no interior e na superfície desse sólido, possuem todas as coordenadas inteiras?

Considere

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Determine o menor $n \in \mathbb{N}$ tal que a entrada na primeira linha e na terceira coluna de $A^n$ seja maior que $119$.

As diagonais do paralelogramo $ABCD$ estão contidas nas retas $r: 2y - x = 2$ e $s: x + 2y = 8$. As retas $r$ e $s$ se encontram no ponto $X$. Sabendo que $C = (8,5)$ e que a equação da circunferência inscrita no triângulo $ABX$ é

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5}{4},$$

determine a área de $ABCD$.

Um alvo é pintado em uma parede, composto de um círculo central e uma sequência de anéis concêntricos de cores alternadas entre vermelho e branco. O círculo central, pintado de vermelho, tem raio $\alpha$ unidades. Cada círculo subsequente tem raio uma unidade maior que o anterior: $\alpha + 1$, depois $\alpha + 2$ e assim por diante. Determine a área total em vermelho em função de $\alpha$, sabendo que o alvo tem $33$ círculos.

Quatro esferas idênticas, dispostas tangentes duas a duas, estão simultaneamente inscritas em uma única esfera maior, de modo que os centros das esferas menores formam um tetraedro regular. Calcule a razão entre o volume da esfera maior e a soma dos volumes das quatro esferas menores.

Dados os números reais $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$, defina as matrizes $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$, ambas de ordem $n \times n$, por

$$a_{ij} = \begin{cases} 0, & \text{se } j \ge i, \\ \alpha_j^{\,i-j-1}, & \text{se } j < i \end{cases}$$

$$b_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } j \ge i, \\ 0, & \text{se } j < i \end{cases}$$

Suponha que a soma dos elementos da coluna $j$ da matriz $AB$ seja igual a $n - j$.

1. Determine o determinante de $AB$.

2. Determine o traço de $AB$ em função de $n$.

3. Supondo que $n = 5$, determine todos os possíveis valores de $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}$.

Seja $p(x)$ um polinômio de grau quatro com coeficientes reais. A soma das raízes de $p(x)$ é $\dfrac{3}{2}$, e o seu produto é $-\dfrac{5}{2}$. Determine todas as raízes de $p(x)$ em $\mathbb{C}$, sabendo que o resto da divisão de $p(x)$ por $x^3 - x + 4$ é igual a $9x^2 - 4x + 7$.

Quantas sequências estritamente crescentes de três números naturais é possível construir de forma que a soma dos três números é igual a $100$?

Seja $H$ a hipérbole com focos $A = (-6,0)$, $B = (6,0)$ e excentricidade $3$.

1. Determine as equações de todas as retas que passam por $C = (0,-8)$ e são tangentes a $H$.

2. Para cada reta do item anterior, determine os pontos de tangência.

Os pontos $A$ e $B$ definem um segmento com $m(\overline{AB}) = 6(1+\sqrt{3})\,\pu{cm}$. Os pontos $C$ e $D$ estão no segmento $\overline{AB}$. A circunferência de centro em $C$ e passando por $A$ e a circunferência de centro em $D$ e passando por $B$ se encontram nos pontos $P$ e $Q$, que satisfazem

$$m(\overline{AP}) = m(\overline{PQ}), \qquad m(\overline{BP}) = m(\overline{AP})\sqrt{2+\sqrt{3}}.$$

1. Determine o raio de cada circunferência.

2. Determine a área da região comum ao interior das duas circunferências.