2ª Fase - Matemática

Sejam $(a_n)$ uma progressão aritmética e $(b_n)$ uma progressão geométrica. Se a razão de $(a_n)$ é $r$, $r \neq 0$, a razão de $(b_n)$ é $q = 1/r$, $a_1 = b_1 = 4$ e

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{50}{3},$$

determine $n$ de modo que a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica seja igual a $-80$.

Quatro cidades $A$, $B$, $C$ e $D$ estão ligadas por seis pontes distintas da seguinte maneira:

• uma ponte liga $A$ e $B$;
• uma ponte liga $A$ e $C$;
• uma ponte liga $B$ e $C$;
• duas pontes ligam $B$ e $D$;
• uma ponte liga $C$ e $D$.

Quantos caminhos são possíveis ligando todas as cidades e passando por todas as pontes uma única vez, sabendo que é permitido passar em uma mesma cidade mais de uma vez?

Determine todos os valores reais de $x$ para os quais

$$\left| \log_{1/2} |x| \right| + \left| \log_2 |x| \right| < 4.$$

Dada uma matriz $A \in M_n(\mathbb{R})$ simétrica, dizemos que $A$ é definida positiva se

$$X^T A X = [y], \qquad y > 0,$$

para toda $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$ que tem ao menos uma entrada não-nula. Encontre todos os possíveis valores de $b \in \mathbb{R}$ tais que a matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{pmatrix}$$

seja definida positiva.

Encontre as raízes do polinômio $p(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x - 14$, sabendo que vale a relação $p(1 + x) = p(1 - x)$, para todo $x \in \mathbb{C}$.

O sólido $S$ é formado pela união de dois paralelepípedos retângulos congruentes, com posição e medidas conforme a figura.

Seja $\overline{AB}$ um segmento de reta completamente contido em $S$ que contém um dos vértices de $S$. Encontre o maior valor possível de $m(\overline{AB})$.

Determine a equação da circunferência de maior raio que é tangente ao eixo $y$ e passa pelos pontos $(1, 4)$ e $(3, 6)$.

Considere a parábola de equação $y = 4x - x^2$ com vértice no ponto $V$. Seja $T$ o trapézio $PABV$, onde $P = (0, 0)$, $A$ é um ponto com abscissa no intervalo $[2, 4]$ e ordenada nula e $B$ é um ponto na parábola com ordenada positiva. Sabendo que $m(\overline{AB}) = \frac{7}{8}\sqrt{5}$, determine a área de $T$.

Seja $z = 1 + ai$ uma raiz do polinômio $p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29$, onde $a$ e $m$ são números reais. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são as quatro raízes complexas de $p(x)$ no plano de Argand-Gauss.

Sabendo que $\tan(\alpha+\beta) = -2$ e $\text{sen}(\alpha) = (4-\sqrt{5})\text{sen}(\beta)$ para $\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$, calcule

$$\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right), \quad \tan\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \quad \text{e} \quad \frac{\tan\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}.$$