2ª Fase - Matemática

Seja $i$ tal que $i^2 = -1$. Considere o número complexo $z = \alpha + \beta i$, sendo $\alpha$ e $\beta$ números inteiros não nulos. Sabendo que $z^3 = -9 + 46i$, determine $\alpha$ e $\beta$.

Calcule as soluções reais da equação

$$x^4 + (2x+7)^3 + 14x^3 + \frac{147}{2}x^2 + \frac{7^3}{2}x = -\frac{7^4}{16}.$$

Considere a função $f : [0,1) \to \mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{x^n}$$

e $a \in [0,1)$, $a \neq \dfrac{1}{9}$. Dentre todas as retas secantes ao gráfico da função $f$ nos pontos $(a,f(a))$ e $(x,f(x))$, $x \neq a$, a que tem o menor coeficiente angular é aquela que é paralela à reta de equação $ky - 4x = 2026$. Determine o valor de $k$ em função de $a$.

Seja $i$ tal que $i^2=-1$. Determine os valores do complexo $z$ que satisfazem a equação

$$i\left(\frac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}} + \frac{z^2+(\overline{z})^2}{z^2-(\overline{z})^2}\right) - \left(\frac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}}\right)\left(\frac{z^2+(\overline{z})^2}{z^2-(\overline{z})^2}\right) = 1$$

em que $\overline{z}$ representa o conjugado de $z$.

Sejam $a$, $b$ e $c$ números reais positivos. Prove que

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9.$$

Seja $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2027}$ uma sequência de números reais tal que $a_1=1$, $a_4=10$ e que o sistema linear

$$\begin{cases} x+2y+z = a_j \\ x+3y+z = a_{j+1} \\ x+4y+z = a_{j+2} \end{cases}$$

é possível para cada $j=1,\ldots,2025$. Calcule $\displaystyle\sum_{j=1}^{2025}(x_j+y_j+z_j)$, em que $(x_j,y_j,z_j)$ representa uma solução do sistema para cada $j=1,\ldots,2025$.

A probabilidade de um computador estar infectado por um vírus é de 90%. Um programa antivírus detecta a presença de vírus em um computador infectado com probabilidade de 95%, mas indica a presença de vírus quando o computador não está infectado com probabilidade de 1%. O programa analisou um dado computador e respondeu que o mesmo não está infectado. Qual é a probabilidade do computador examinado estar infectado?

Prove que o sistema admite uma única solução real e calcule essa solução.

$$\begin{cases} x + \log(x+\sqrt{x^2+1}) = y \\ y + \log(y+\sqrt{y^2+1}) = z \\ z + \log(z+\sqrt{z^2+1}) = x \end{cases}$$

No quadrado $ABCD$ de lado $a$, são dados os pontos $M$ sobre o lado $BC$ e $N$ sobre o lado $CD$ de forma que $AMN$ seja um triângulo equilátero. Calcule, em função de $a$, o raio do círculo inscrito no triângulo $CMN$.

Seja o tetraedro regular $ABCD$ de aresta $a$ e a esfera inscrita no mesmo. Considerando cada vértice, traça-se um plano distinto da base oposta, paralelo a esta base e tangente à esfera. Um novo tetraedro é então formado a partir do vértice $A$ e dos novos vértices definidos pela interseção do novo plano traçado, paralelo à base $BCD$, com o tetraedro $ABCD$. Analogamente faz-se o mesmo processo para os vértices $B$, $C$ e $D$. Em seguida, inscreve-se uma esfera em cada novo tetraedro criado. Repete-se o processo de forma indefinida. Calcule em função de $a$ o volume ocupado por todas as esferas interiores ao tetraedro $ABCD$.